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    2023年考研數學三真題及參考答案

    時間:2023-01-08 18:00:54 考研數學 投訴建議
    參考,漢語詞語,讀音cān kǎo,指參證有關材料來幫助研究和了解;在研究或處理某些事情時,把另外的資料或數據拿來對照。出自《老殘游記.第三回》。以下是為大家整理的2023年考研數學三真題及參考答案,歡迎品鑒!

    2023年考研數學三真題及參考答案

    一、選擇題:1~10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是最符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

    1. 已知函數,則( ???).

    A. 不存在,存在????????????????????????????? B. 存在,不存在

    C. 存在,存在?????????????????????????????????? D. 不存在,不存在

    【答案】A.

    【解析】由已知,則

    ,.

    當時,,;

    當時,,;

    所以不存在.

    又,存在.

    故選A.

    2. 函數的一個原函數為( ???).

    A.

    B.

    C.

    D.

    【答案】D.

    【解析】由已知,即連續.

    所以在處連續且可導,排除A,C.

    又時,,

    排除B.

    故選D.

    3. 若的通解在上有界,則( ??).

    A.??????????????????????????????????? B.

    C.???????????????????????????????????? D.

    【答案】D.

    【解析】微分方程的特征方程為.

    ①若 ,則通解為;

    ②若,則通解為;

    ③若,則通解為.

    由于在上有界,若,則①②③中時通解無界,若,則①②③中時通解無界,故.

    時,若 ,則,通解為,在上有界.

    時,若,則,通解為,在上無界.

    綜上可得,.

    4. 設,且與收斂,絕對收斂是絕對收斂的( ???).

    A.充分必要條件???????????????????????????????? B.充分不必要條件??????????

    C.必要不充分條件??????????????????? D.既非充分又非必要條件

    【解析】由已知條件可知為收斂的正項級數,進而絕對收斂.

    設絕對收斂,則由與比較判別法,得 ?絕對收玫;

    設絕對收斂,則由與比較判別法,得絕對收斂.故選A.

    ?

    5. 為可逆矩陣,為單位陣,為的伴隨矩陣,則

    A.????????????????????????????? B.

    C.????????????????????????????? D.

    【答案】B.

    【解析】由于

    ,

    故選B..

    6. 的規范形為

    A.???????????????? B.???????????????? C.???????????? D.

    【答案】B

    【解析】

    ,

    二次型的矩陣為,

    ?

    ?

    ,

    ,故規范形為,故選B.

    7.已知向量組 ,若 既可由 線性表示,又可由線性表示,則(??? )

    A.?????????????? B.

    C. ?????????????D.

    【答案】D.

    【解析】設,則,對關于的方程組的系數矩陣作初等變換化為最簡形,

    ,

    解得,故

    .

    8.設服從參數為1的泊松分布,則( ???).

    A.????????????????????????????????????? B.??????????????????????????? C.??????????????????????????? D.

    【答案】C.

    【解析】方法一:由已知可得,,,故

    .

    故選C.

    方法二:由于,于是于是

    .

    由已知可得,,,故

    .

    .

    故選C.

    9.設為來自總體的簡單隨機樣本,為來自總體的簡單隨機樣本,且兩樣本相互獨立,記,,,,則(??? )

    A. ????????????????????B. ??

    ?? C. ???????????????????D.

    【答案】D.

    【解析】由兩樣本相互獨立可得與相互獨立,且

    ,,

    因此,故選D.

    ?

    10. 已知總體服從正態分布,其中為未知參數,,為來自總體的簡單隨機樣本,記,若,則(??? ).

    A. ???????????B.?????????? C. ???????????D.

    【答案】A.

    【解析】由與,為來自總體的簡單隨機樣本,,相互獨立,且

    ,,

    因而,令,所以的概率密度為

    ,

    所以

    ,

    由,即

    ,

    解得,故選A.

    ????????

    二、填空題:11~16小題,每小題5分,共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

    11.求極限____________.

    【答案】.

    【解析】

    .

    12.已知函數滿足,且,則

    ____________.

    【答案】.

    【解析】由已知,,則

    ,

    所以,即,,

    從而,又,解得,故

    ,.

    13.____________.

    【答案】.

    【解析】令,則,且

    ,,

    ,

    從而可得微分方程,解得,

    又,,解得,故

    .

    14.某公司在時刻的資產為,則從時刻到時刻的平均資產等于,假設連續且,則____________.

    【答案】.

    【解析】由已知可得,整理變形,

    等式兩邊求導,即,解得一階線性微分方程通解為

    ,

    又,解得,故.

    ?

    15. ?有解,其中為常數,若 ,則________.

    【答案】

    【解析】方程組有解,則 ,故.

    ?

    16. 設隨機變量與相互獨立,且,,則與的相關系數為____________.

    【答案】

    【解析】由題意可得,,,又由與相互獨立可知,,故

    三、解答題:17~22小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

    17.(本題滿分10分)

    已知函數滿足,且.

    (1)求的值;

    (2)判斷是否為函數的極值點.

    【解】(1)將代入得.

    方程兩邊對求導得

    ,

    將代入上式得,解得.

    ?

    (2)由(1)知,上式兩邊再對求導得

    將代入上式得,所以是函數的極大值點.

    ?

    18.(本題滿分12分)

    已知平面區域,

    (1)求平面區域的面積.

    (2)求平面區域繞一周所形成得旋轉體的體積

    【解】(1)

    .

    (2) .

    19.(本題滿分12分)

    已知,求.

    【解】令,則

    ?

    20.(本題滿分12分)

    設函數在上有二階連續導數.

    (1)證明:若,存在,使得;

    (2)若在上存在極值,證明:存在,使得.

    【證明】(1)將在處展開為

    ,

    其中介于與之間.

    分別令和,則

    ,,

    ,,

    兩式相加可得

    ,

    又函數在上有二階連續導數,由介值定理知存在,使得

    ,

    即.

    (2)設在處取得極值,則.

    將在處展開為

    ,

    其中介于與之間.

    分別令和,則

    ,,

    ,,

    兩式相減可得

    ,

    所以

    ,

    即.

    ?

    21.(本題滿分12分)

    設矩陣滿足對任意的均有.

    (1)求

    (2)求可逆矩陣與對角陣,使得.

    【解】(1)由,得

    ,

    即方程組對任意的均成立,故.

    (2),

    ,

    特征值為.

    ,;

    ,;

    ,,

    令 ,則.

    ?

    22.(本題滿分12分)

    設隨機變量的概率密度函數為,令.

    (1)求的分布函數;

    (2)求的概率密度函數;

    (3)判斷的數學期望是否存在.

    【解】(1)設的分布函數為,由分布函數的定義可得

    .

    (2)設的分布函數為,概率密度為,由分布函數的定義可得

    ,

    當時,;

    當時,

    .

    綜上,

    故的概率密度函數

    (3)由(2)知,

    ,

    故的數學期望不存在.

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