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    2023年考研數學一真題及參考答案解析

    時間:2023-01-08 18:00:37 考研數學 投訴建議
    參考,漢語詞語,讀音cān kǎo,指參證有關材料來幫助研究和了解;在研究或處理某些事情時,把另外的資料或數據拿來對照。出自《老殘游記.第三回》。下面是小編為大家整理的2023年考研數學一真題及參考答案解析,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。

    2023年考研數學一真題及參考答案解析

    一、選擇題:1~10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是最符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

    1.??的斜漸近線為( ? ?)

    A.?? ? ? ? ? ? ? ?B.?? ?

    C.?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

    【答案】B.

    【解析】由已知,則

    ,

    ,

    所以斜漸近線為.故選B.

    2.若的通解在上有界,則( ? ).

    A.?? ? ? ? ? ? ? ?B.C.?? ? ? ? ? ? ? ?D.

    【答案】D

    【解析】微分方程的特征方程為.

    若?,則通解為;

    若,則通解為;

    若,則通解為.

    由于在上有界,若,則中時通解無界,若,則中時通解無界,故.

    時,若?,則,通解為,在上有界.

    時,若,則,通解為,在上無界.

    綜上可得,

    3.?設函數由參數方程確定,則( ? ?).

    A.連續,不存在 ? ? ? ? ? ?B.存在,在處不連續

    C.連續,不存在 ? ? ? ? ? ?D.存在,在處不連續

    【答案】C

    【解析】,故在連續

    .

    時,;時,;時,,故在連續.

    ,

    ,

    故不存在.故選C.

    4.設,且與收斂,絕對收斂是絕對收斂的( ? ?).

    A.充分必要條件 ? ? ? ? ? ? ? ?B.充分不必要條件 ? ? ? ? ?

    C.必要不充分條件 ? ? ? ? ? ?D.既非充分又非必要條件

    【答案】A.

    【解析】由已知條件可知為收斂的正項級數,進而絕對收斂.

    設絕對收斂,則由與比較判別法,得??絕對收玫

    設絕對收斂,則由與比較判別法,得絕對收斂.故選A.

    5.設均為階矩陣,,記矩陣的秩分別為,則( ? ?)

    A.?? ? ? ? ? B.?? ? ? ? C.?? D.

    【答案】B

    【解析】由矩陣的初等變換可得

    ,故.

    ,故.

    ,故.

    綜上,比較可得B正確.

    6.?下列矩陣不能相似對角化的是( ? ?)

    A.??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.?? ? ? ?

    C.?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

    【答案】D.

    【解析】由于A.中矩陣的特征值為,特征值互不相同,故可相似對角化.

    B.中矩陣為實對稱矩陣,故可相似對角化.

    C.中矩陣的特征值為,且,故可相似對角化.

    D.中矩陣的特征值為,且,故不可相似對角化.

    選D.

    7.?已知向量,,,,若既可由線性表示,也可由線性表示,則( ? ?)

    A.?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.??

    ? C.?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

    【答案】D.

    【解析】設,則,對關于的方程組的系數矩陣作初等變換化為最簡形,

    ,

    解得,故

    .

    8.設服從參數為1的泊松分布,則( ? ?).

    A.?? ? ? ? ??B.?? ? ? ? ? ? ? ?C.?? ? ? ? ? ? ? ?D.

    【答案】C.

    【解析】方法一 ?由已知可得,,,故

    ,

    故選C.

    方法二 ?由于,于是,因此

    .

    由已知可得,,故

    ,

    故選C.

    9.設為來自總體的簡單隨機樣本,為來自總體的簡單隨機樣本,且兩樣本相互獨立,記,,,,則( ? ?)

    A.??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B.???

    ? C.??? ? ? ? ? ? ? ? ? D.?

    【答案】D

    【解析】由兩樣本相互獨立可得與相互獨立,且

    ,,

    因此,故選D.

    10.?已知總體服從正態分布,其中為未知參數,,為來自總體的簡單隨機樣本,且為的無偏估計,則( ? ?).

    A.??? ? ? ? ? B.?? ? ? ? ? C.??? ? ? ? ? D.

    【答案】A.

    【解析】由與,為來自總體的簡單隨機樣本,,相互獨立,且

    ,,

    因而,令,所以的概率密度為

    ,

    所以

    ,

    又由為的無偏估計可得,,即

    ,

    解得,故選A.

    二、填空題:11~16小題,每小題5分,共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

    11.當時,與是等價無窮小,則?? ? ? ?.

    【答案】【解析】由題意可知,

    ,

    于是,即,從而.

    12.曲面在處的切平面方程為_?? ? ??.

    【答案】【解析】由于在點處的法向量為

    ,

    從而曲面在處的切平面方程為

    13.設是周期為的周期函數,且,則?? ? ? ?.

    【答案】【解析】由題意知,

    于是.

    14.設連續函數滿足,,則?? ? ? ??.

    【答案】【解析】

    15.已知向量,若,則?? ? ? ?.

    【答案】【解析】,;

    ,;

    ,.

    故.

    16.?設隨機變量與相互獨立,且則?? ? ? ?.

    答案】【解析】.

    三、解答題:17~22小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

    17.(本題滿分10分)

    設曲線經過點,該曲線上任意一點到軸的距離等于該點處的切線在軸上的截距.

    (1)求;

    (2)求函數在的最大值.

    【解】(1)曲線在點處的切線方程為,于是切線在軸上的截距為,由題意可知,即,此為一階線性微分方程,根據通解公式可得

    ,

    將代入上式得,即.

    (2)由(1)知,于是,.

    令,解得唯一駐點,,故

    .

    18.(本題滿分12分)

    求函數的極值

    【解】由已知可得,,由解得駐點為.

    又,,.

    在處,,,

    取,于是,從而在的領域內;

    取,于是,從而在的領域內,從而在點處不去極值;

    在處,,于是,故不是極大值點

    在處,,于是,是極小值點,極小值.

    19.(本題滿分12分)

    已知有界閉區域是由,,所圍的,為邊界的外側,計算曲面積分.

    【解】由高斯公式,有

    .

    由于關于坐標面對稱,是關于的奇函數,因此

    ,所以

    .

    20.(本題滿分12分)

    設函數在上有二階連續導數.

    (1)證明:若,存在,使得;

    (2)若在上存在極值,證明:存在,使得.

    【證明】(1)將在處展開為

    ,

    其中介于與之間

    分別令和,則

    ,,

    ,,

    兩式相加可得

    ,

    又函數在上有二階連續導數,由介值定理知存在,使得

    ,

    即.

    (2)設在處取得極值,則.

    將在處展開為

    ,

    其中介于與之間.

    分別令和,則

    ,,

    ,,

    兩式相減可得

    ,

    所以

    ,

    即.

    21.(本題滿分12分)

    設二次型?,

    ,

    (1)求可逆變換,將化為.

    (2)是否存在正交矩陣,使得時,將化為.

    【解】(1) 由配方法得

    .

    令,則,即時,規范形為?.

    令,則時,規范形為.

    故可得

    時化為,可逆變換,其中

    (2)二次型的矩陣為.

    ,

    所以的特征值為.

    二次型的矩陣為.

    ,

    所以的特征值為.

    故?合同但不相似,故不存在可逆矩陣?使得

    若存在正交矩陣,當時,,即,即相似,矛盾,故不存在正交矩陣,使得時,化為.

    22.(本題滿分12分)

    設二維隨機變量的概率密度函數為(1)求和的協方差;

    (2)判斷和是否相互獨立;

    (3)求的概率密度函數.

    【解】(1)由題意可得,和的邊緣概率密度分別為

    因此,其中

    ,

    ,

    ,

    故.

    (2)由(1)可知,,故和不相互獨立.

    (3)設的分布函數為,概率密度為,則根據分布函數的定義有

    當時,;

    當時,

    ;

    當時,.

    綜上,故

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